대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

등차수열 합

문제

공차가 22인 등차수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}과 자연수 mm이 ∑k=1mak+1=240\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} a _{k + 1} = 240, ∑k=1m(ak+m)=360\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} \left( a _{k} + m \right) = 360 을 만족시킬 때, ama _{m}의 값을 구하시오. [4점]

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29

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해설

[출제의도] 등차수열의 합을 활용하여 문제해결하기 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 공차가 22인 등차수열이므로 모든 자연수 nn에 대하여 an+1−an=2a _{n + 1} - a _{n} = 2 ∑k=1mak+1−∑k=1m(ak+m)\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} a _{k + 1} - \sum\limits _{k = 1} ^{m} \left( a _{k} + m \right)=∑k=1m(ak+1−ak−m)\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \left( a _{k + 1} - a _{k} - m \right) =∑k=1m(2−m)\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \left( 2 - m \right) =m(2−m)= m \left( 2 - m \right) 2m−m2=240−3602 m - m ^{2} = 240 - 360, m2−2m−120=0m ^{2} - 2 m - 120 = 0 (m+10)(m−12)=0\left( m + 10 \right) \left( m - 12 \right) = 0에서 m=−10m = - 10 또는 m=12m = 12 mm은 자연수이므로 m=12m = 12 ∑k=112(ak+12)\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{12} \left( a _{k} + 12 \right)=∑k=112ak+∑k=11212\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{12} a _{k} + \sum\limits _{k = 1} ^{12} 12 =12(2a1+11×2)2+12×12=360\displaystyle = \frac{12 \left( 2 a _{1} + 11 \times 2 \right)}{2} + 12 \times 12 = 360 6(2a1+22)+144=3606 \left( 2 a _{1} + 22 \right) + 144 = 360에서 a1=7a _{1} = 7 따라서 am=a12=7+11×2=29a _{m} = a _{12} = 7 + 11 \times 2 = 29

태그

#등차수열의 합#시그마

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