미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등차수열 곱의 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 a1=1a _{1} = 1, a2=4a _{2} = 4이고, 모든 자연수 nn에 대하여 an+2−an+1=an+1−ana _{n + 2} - a _{n + 1} = a _{n + 1} - a _{n} 을 만족시킬 때, lim⁡n→∞anan+11+2+3+⋯+n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n} a _{n + 1}}{1 + 2 + 3 + \cdots + n}}의 값을 구하시오. [3점]

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18

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해설

[출제의도] 무한수열의 극한 이해하기 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 첫째항이 11이고 공차가 33인 등차수열이므로 an=3n−2a _{n} = 3 n - 2이다. lim⁡n→∞anan+11+2+3+⋯+n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n} a _{n + 1}}{1 + 2 + 3 + \cdots + n}} =lim⁡n→∞(3n−2)(3n+1)n(n+1)2\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{( 3 n - 2 ) ( 3 n + 1 )}{\frac{n ( n + 1 )}{2}}} =lim⁡n→∞2(3n−2)(3n+1)n(n+1)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 ( 3 n - 2 ) ( 3 n + 1 )}{n ( n + 1 )}} =18= 18

태그

#수열의 극한#등차수열

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