대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등차중항과 등비중항

문제

세 수 aa, a+ba + b, 2a−b2 a - b는 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수 11, a−1a - 1, 3b+13 b + 1은 이 순서대로 공비가 양수인 등비수열을 이룬다. a2+b2a ^{2} + b ^{2}의 값을 구하시오. [3점]

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1010

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해설

aa, a+ba + b, 2a−b2 a - b가 등차수열이므로 2(a+b)=3a−b2 ( a + b ) = 3 a - b ∴a=3b\therefore a = 3 b 11, a−1a - 1, 3b−13 b - 1이 등비수열이므로 (a−1)2=3b+1( a - 1 ) ^{2} = 3 b + 1, (a−1)2=a+1( a - 1 ) ^{2} = a + 1, a2−3a=0a ^{2} - 3 a = 0 ∴a=0\therefore a = 0 또는 a=3a = 3 공비가 양수이므로 a=3a = 3, b=1b = 1 ∴a2+b2=32+12=10\therefore a ^{2} + b ^{2} = 3 ^{2} + 1 ^{2} = 10

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