등차 곱하기 등비 형태의 수열의 합

주어진 조건으로부터 $\displaystyle S = \sum\limits _{k = 1} ^{18} k \cdot 2 ^{k}$ $= 2 ^{1} + 2 \cdot 2 ^{2} + 3 \cdot 2 ^{3} + \cdots + 18 \cdot 2 ^{18} \cdots$(1) 식 (1)의 양 변에 $2$를 곱하면 $2 S = 2 ^{2} + 2 \cdot 2 ^{3} + 3 \cdot 2 ^{4} + \cdots + 18 \cdot 2 ^{19} \cdots$(2) 식 (1)$-$식 (2)를 하면 $- S = 2 ^{1} + 2 ^{2} + 2 ^{3} + \cdots + 2 ^{18} - 18 \cdot 2 ^{19}$ $\displaystyle = \frac{2 ( 2 ^{18} - 1 )}{2 - 1} - 18 \cdot 2 ^{19}$ $= - 17 \cdot 2 ^{19} - 2$ $\therefore S = 17 \cdot 2 ^{19} + 2 = ( 2 ^{4} + 1 ) \cdot 2 ^{19} + 2$ $= 2 ^{23} + 2 ^{19} + 2$ 따라서, $p = 23 , q = 19 , r = 1$ $\therefore p + q + r = 23 + 19 + 1 = 43$