등차·등비수열과 급수

등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항과 공차가 같으므로 이 값을 $d$라 하면 $a _{n} = nd$ (단, $a _{1} \neq 0$이므로 $d \neq 0$) 등비수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 첫째항을 $b _{1}$, 공비를 $r$이라 하면 조건에서 어떤 자연수 $k$에 대하여 $\displaystyle b _{k + i} = \frac{1}{a _{i}} - 1$ ($i = 1$, $2$, $3$) 이므로 $\displaystyle b _{k + 1} = \frac{1}{a _{1}} - 1 = \frac{1}{d} - 1$ $\displaystyle b _{k + 2} = \frac{1}{a _{2}} - 1 = \frac{1}{2 d} - 1$ $\displaystyle b _{k + 3} = \frac{1}{a _{3}} - 1 = \frac{1}{3 d} - 1$ 세 수 $b _{k + 1}$, $b _{k + 2}$, $b _{k + 3}$은 이 순서대로 등비수열을 이루므로 등비중항의 성질에 의하여 $\left( b _{k + 2} \right) ^{2} = b _{k + 1} b _{k + 3}$ $\displaystyle \left( \frac{1}{2 d} - 1 \right) ^{2} = \left( \frac{1}{d} - 1 \right) \left( \frac{1}{3 d} - 1 \right)$ $\displaystyle \frac{1}{4 d ^{2}} - \frac{1}{d} + 1 = \frac{1}{3 d ^{2}} - \frac{4}{3 d} + 1$ $\displaystyle \frac{1}{4 d ^{2}} - \frac{1}{d} = \frac{1}{3 d ^{2}} - \frac{4}{3 d}$ 양변에 $12 d ^{2}$을 곱하면 $3 - 12 d = 4 - 16 d$, $\displaystyle d = \frac{1}{4}$ $\therefore$ $\displaystyle a _{n} = \frac{n}{4}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 등비수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 공비 $r$은 $r$$\displaystyle = \frac{b _{k + 2}}{b _{k + 1}}$$\displaystyle = \frac{\frac{1}{2 d} - 1}{\frac{1}{d} - 1}$$\displaystyle = \frac{\frac{1}{2 \times \left( \frac{1}{4} \right)} - 1}{\frac{1}{\frac{1}{4}} - 1}$$\displaystyle = \frac{2 - 1}{4 - 1}$$\displaystyle = \frac{1}{3}$ 부등식 $\displaystyle 0 < \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( b _{n} - \frac{1}{a _{n} a _{n + 1}} \right) < 30$에서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{a _{n} a _{n + 1}}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{\frac{n}{4} \times \frac{n + 1}{4}} = 16 \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{n \left( n + 1 \right)}$ $\displaystyle = 16 \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right)$ $\displaystyle = 16 \lim\limits _{N \rightarrow \infty} \sum\limits _{n = 1} ^{N} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right)$ $\displaystyle = 16 \lim\limits _{N \rightarrow \infty} \left\{ \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \right.$ $\displaystyle \cdots + \left( \frac{1}{N} - \frac{1}{N + 1} \right) \}$ $\displaystyle = 16 \lim\limits _{N \rightarrow \infty} \left( 1 - \frac{1}{N + 1} \right) = 16 \times 1 = 16$ 한편, 등비수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 공비 $\displaystyle r = \frac{1}{3}$이고 $\left| r \left| < 1 \right. \right.$이므로 무한등비급수는 수렴한다. $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n} = \frac{b _{1}}{1 - r} = \frac{b _{1}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} b _{1}$ 주어진 부등식에 대입하면 $\displaystyle 0 < \frac{3}{2} b _{1} - 16 < 30$, $\displaystyle 16 < \frac{3}{2} b _{1} < 46$ $\displaystyle \frac{32}{3} < b _{1} < \frac{92}{3}$ $\displaystyle d = \frac{1}{4}$이므로 $\displaystyle b _{k + 1} = \frac{1}{d} - 1 = 4 - 1 = 3$ $\displaystyle b _{k + 1} = b _{1} r ^{k} = b _{1} \left( \frac{1}{3} \right) ^{k} = 3$이므로 $b _{1} = 3 ^{k + 1}$ $b _{1}$의 부등식에 대입하면 $\displaystyle \frac{32}{3} < 3 ^{k + 1} < \frac{92}{3}$ $k$는 자연수이므로 부등식을 만족시키는 $k = 2$이고 $b _{1} = 3 ^{2 + 1} = 27$ ㉠에서 $\displaystyle a _{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ 수열 $\left\{ b _{2 n} \right\}$은 첫째항이 $\displaystyle b _{2} = b _{1} r = 27 \times \frac{1}{3} = 9$이고, 공비가 $\displaystyle r ^{2} = \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} = \frac{1}{9}$인 등비수열이다. $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{2 n} = \frac{9}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{9}{\frac{8}{9}} = \frac{81}{8}$ 따라서 $\displaystyle a _{2} \times \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{2 n} = \frac{1}{2} \times \frac{81}{8} = \frac{81}{16}$ 따라서 $p = 16$, $q = 81$이므로 $p + q = 16 + 81 = 97$