미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출아주 기초 (2점~3점 초반)

등비수열의 수렴 조건

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 일반항이 ana _{n}=(x2−4x5)n\displaystyle = \left( \frac{x ^{2} - 4 x}{5} \right) ^{n} 일 때, 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 수렴하도록 하는 모든 정수 xx의 개수는? [3점] ①77②88③99④1010⑤1111

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①

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해설

[출제의도] 등비수열의 수렴 조건을 이해한다. 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 수렴하려면 −1<x2−4x5≤1\displaystyle - 1 < \frac{x ^{2} - 4 x}{5} \leq 1에서 {x2−4x+5>0x2−4x−5≤0\displaystyle {\begin{cases} x ^{2} - 4 x + 5 > 0 \\ x ^{2} - 4 x - 5 \leq 0 \end{cases}} x2−4x+5>0x ^{2} - 4 x + 5 > 0에서 (x−2)2+1>0\left( x - 2 \right) ^{2} + 1 > 0이므로 모든 정수 xx에 대하여 부등식이 성립한다. x2−4x−5≤0x ^{2} - 4 x - 5 \leq 0에서 (x+1)(x−5)≤0\left( x + 1 \right) \left( x - 5 \right) \leq 0, −1≤x≤5- 1 \leq x \leq 5 따라서 모든 정수 xx의 개수는 77이다.

태그

#등비수열의 수렴#이차부등식

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