등비수열의 합 비

등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r \left( r > 0 \right)$이라 하자. (ⅰ) $r = 1$인 경우 $a _{2} = a r = a = 2$ $S _{6} = 6 a = 12$ $S _{3} = 3 a = 6$ $S _{6} \neq 9 S _{3}$ (ⅱ) $r \neq 1$인 경우 $S _{6} = 9 S _{3}$, $\displaystyle \frac{a \left( r ^{6} - 1 \right)}{r - 1} = 9 \times \frac{a \left( r ^{3} - 1 \right)}{r - 1}$ $\left( r ^{3} + 1 \right) \left( r ^{3} - 1 \right) = 9 \left( r ^{3} - 1 \right)$ $r ^{3} + 1 = 9$, $r ^{3} = 8$, $r = 2$ 따라서 $a _{4} = a _{2} \times r ^{2} = 2 \times 2 ^{2} = 8$