등비수열의 합

등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공비를 $r$이라 하면 모든 항이 양수이므로 $a _{1} > 0$, $r > 0$ $S _{3} = a _{1} + a _{2} + a _{3} = a _{1} + a _{1} r + a _{1} r ^{2} = a _{1} \left( 1 + r + r ^{2} \right)$ 이므로 $\displaystyle \frac{S _{3}}{a _{1}} = \frac{a _{1} \left( 1 + r + r ^{2} \right)}{a _{1}} = 1 + r + r ^{2} = 13$ $r ^{2} + r - 12 = 0$, $\left( r - 3 \right) \left( r + 4 \right) = 0$ 이때 $r > 0$이므로 $r = 3$ $S _{2} = a _{1} + a _{2} = a _{1} \left( 1 + r \right) = 16$ $4 a _{1} = 16$ $\therefore a _{1} = 4$ $\therefore$ $a _{5} = a _{1} r ^{4} = 4 \times 3 ^{4} = 4 \times 81 = 324$