등비수열과 로그

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 등비수열의 공비를 구하고 수열의 합을 구한다. $\left\{ a _{n} \right\}$은 첫째항이 $1$, 공비가 $r$인 등비수열이므로 $a _{2} = r$, $a _{3} = r ^{2}$, $a _{4} = r ^{3}$ $\log _{4} a _{3} = \log _{a _{2}} a _{4}$이므로 $\log _{4} r ^{2} = \log _{r} r ^{3}$ $\displaystyle \frac{2}{2} \log _{2} r = 3 \log _{r} r$ $\log _{2} r = 3$ $r = 2 ^{3} = 8$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{k} = 1 + 8 + 8 ^{2} + \cdots + 8 ^{9}$ $\displaystyle = \frac{8 ^{10} - 1}{8 - 1}$ $\displaystyle \begin{aligned} = \frac{( 2 ^{3} ) ^{10} - 1}{7} \\ = \frac{1}{7} \left( 2 ^{30} - 1 ) \right. \end{aligned}$ 따라서 구하는 값은 $\displaystyle \frac{1}{7} ( 2 ^{30} - 1 )$