대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등비수열 역수의 합

문제

공비가 양수인 등비수열 {an{a _{n}}}에서 a2=4a _{2} = 4, a4=16a _{4} = 16이다. ∑n=181an=qp\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{8} \frac{1}{a _{n}} = \frac{q}{p}일 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, p,qp , q 는 서로소인 자연수이다.) [3점]

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511

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해설

[출제의도] 등비수열의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항을 aa, 공비를 rr라 하면 a2=ar=4a _{2} = a r = 4, a4=ar3=16a _{4} = a r ^{3} = 16이므로 r2=4{r ^{2}} = 4 ∴ r=2r = 2, a=2a = 2 ∴ an=2na _{n} = 2 ^{n} ∑n=181an=∑n=18(12)n=12{1−(12)8}1−12=255256\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{8} \frac{1}{a _{n}} = \sum\limits _{n = 1} ^{8} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} = \frac{\frac{1}{2} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{8} \right\}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{255}{256} ∴ p=256p = 256, q=255q = 255 ∴ p+q=511p + q = 511

태그

#등비수열의 합

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