등비수열 수렴 조건

$\displaystyle \frac{( 4 x - 1 ) ^{n}}{2 ^{3 n} + 3 ^{2 n}} = \frac{( 4 x - 1 ) ^{n}}{8 ^{n} + 9 ^{n}} = \frac{\left( \frac{4 x - 1}{9} \right) ^{n}}{\left( \frac{8}{9} \right) ^{n} + 1}$에서 $n \rightarrow \infty$일 때, $\displaystyle \left( \frac{8}{9} \right) ^{n} \rightarrow 0$이므로 주어진 수열이 수렴하려면 등비수열 $\displaystyle \left\{ \left( \frac{4 x - 1}{9} \right) ^{n} \right\}$이 수렴해야 한다. $\displaystyle - 1 < \frac{4 x - 1}{9} {\leq} 1$에서 $\displaystyle - 2 < x {\leq} \frac{5}{2}$이므로 수열 $\displaystyle \left\{ \frac{( 4 x - 1 ) ^{n}}{2 ^{3 n} + 3 ^{2 n}} \right\}$이 수렴하기 위한 모든 정수 $x$의 개수는 $4$이다.