대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

등비수열 삼각형 넓이

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 첫째항이 22, 공비가 −12\displaystyle - \frac{1}{2}인 등비수열이다. 모든 자연수 nn에 대하여 좌표평면 위의 점 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}의 좌표를 (n,an)\left( n , a _{n} \right), 점 Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}}의 좌표를 (n,0)( n , 0 )이라 하자. 삼각형 PnQnQn+1\mathrm{P} _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n} + 1}의 넓이를 AnA _{n}이라 할 때, ∑n=120An\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{20} A _{n}의 값은? [4점] ①2−(12)19\displaystyle 2 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{19}②2−(12)20\displaystyle 2 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{20}③2+(12)21\displaystyle 2 + \left( \frac{1}{2} \right) ^{21}④2+(12)20\displaystyle 2 + \left( \frac{1}{2} \right) ^{20}⑤2+(12)19\displaystyle 2 + \left( \frac{1}{2} \right) ^{19}

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①

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해설

an=2(−12)n−1\displaystyle a _{n} = 2 \left( - \frac{1}{2} \right) ^{n - 1}이고, AnA _{n}은 △PnQnQn+1\mathrm{\triangle} P _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n} + 1}의 넓이이므로 An=12×2∣−12∣n−1×1=(12)n−1\displaystyle A _{n} = \frac{1}{2} \times 2 \left| - \frac{1}{2} \right| ^{n - 1} \times 1 = \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1}이다. 따라서 ∑n=120An=1{1−(12)20}1−12=2−(12)19\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{20} A _{n} = \frac{1 \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{20} \right\}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{19}

태그

#등비수열의 합#좌표

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