미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등비수열 제곱의 급수

문제

등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 a1=3a _{1} = 3, a2=1a _{2} = 1일 때, ∑n=1∞(an)2\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} ( a _{n} ) ^{2}의 값은? [3점] ①818\displaystyle \frac{81}{8}②838\displaystyle \frac{83}{8}③858\displaystyle \frac{85}{8}④878\displaystyle \frac{87}{8}⑤898\displaystyle \frac{89}{8}

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①

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해설

등비수열 ana _{n}의 공비를 rr라 하면 r=a2a1=13\displaystyle r = \frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{1}{3} ∴an=3×(13)n−1\displaystyle \therefore a _{n} = 3 \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{n - 1} ∴∑n=1∞(an)2=∑n=1∞9×(19)n−1=91−19=818\displaystyle \therefore \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( a _{n} ) ^{2} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} 9 \times \left( \frac{1}{9} \right) ^{n - 1} = \frac{9}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{81}{8}

태그

#등비급수

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