등비수열 합의 교대합

등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라 하자. 모든 항이 양수이므로 $a > 0$, $r > 0$ $a _{2} = ar = 1$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{6} \left( - 1 \right) ^{k} S _{k}$$= - S _{1} + S _{2} - S _{3} + S _{4} - S _{5} + S _{6}$ $= \left( S _{2} - S _{1} \right) + \left( S _{4} - S _{3} \right) + \left( S _{6} - S _{5} \right)$ $= a _{2} + a _{4} + a _{6}$ 이때 $a _{2} + a _{4} + a _{6} = 21$이고 $a _{2} = ar = 1$, $a _{4} = ar ^{3} = \left( ar \right) r ^{2} = r ^{2}$, $a _{6} = ar ^{5} = \left( ar \right) r ^{4} = r ^{4}$ 이므로 $1 + r ^{2} + r ^{4} = 21$, $r ^{4} + r ^{2} - 20 = 0$ $\left( r ^{2} + 5 \right) \left( r ^{2} - 4 \right) = 0$ $\therefore$ $r ^{2} = 4$ $r > 0$이므로 $r = 2$이고 $ar = 1$에서 $a \times 2 = 1$, $\displaystyle a = \frac{1}{2}$ 따라서 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S _{n}$은 $S _{n}$$\displaystyle = \frac{\frac{1}{2} \left( 2 ^{n} - 1 \right)}{2 - 1}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \left( 2 ^{n} - 1 \right)$ 이므로 구하는 값은 $S _{2} + S _{7}$$\displaystyle = \frac{3}{2} + \frac{127}{2}$$= 65$