대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등비수열 합의 비

문제

첫째항이 33이고 공비가 22인 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제1010항까지의 합을 AA, 수열 {1an}\displaystyle \left\{ \frac{1}{a _{n}} \right\}의 첫째항부터 제1010항까지의 합을 BB라 하자. 이때, AB\displaystyle \frac{A}{B}의 값은? [3점] ①292 ^{9}②3⋅293 \cdot 2 ^{9}③3⋅2103 \cdot 2 ^{10}④9⋅299 \cdot 2 ^{9}⑤9⋅2109 \cdot 2 ^{10}

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④

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해설

[출제의도] 등비수열의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항이 33이고 공비가 22이므로 an=3⋅2n−1a _{n} = 3 \cdot 2 ^{n-1}이고 1an=13(12)n−1\displaystyle \frac{1}{a _{n}} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1}이다. ∴ A=∑k=110ak=3(210−1)2−1=3⋅(210−1)\displaystyle A = \sum\limits _{k=1} ^{10} a _{k} = \frac{3 ( 2 ^{10} - 1 )}{2 - 1} = 3 \cdot ( 2 ^{10} - 1 ) ∴ B=∑k=1101ak=13(1−1210)1−12\displaystyle B = \sum\limits _{k=1} ^{10} \frac{1}{a _{k}} = \frac{\frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{2 ^{10}} \right)}{1 - \frac{1}{2}}=23(210−1210)\displaystyle = {\frac{2}{3} \left( \frac{2 ^{10} - 1}{2 ^{10}} \right)}=210−13⋅29\displaystyle = \frac{2 ^{10} - 1}{3 \cdot 2 ^{9}} ∴ AB=9⋅29\displaystyle \frac{A}{B} = 9 \cdot 2 ^{9}

태그

#등비수열의 합

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