대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

등비수열 합의 비

문제

모든 항이 양수인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 log⁡2an+1an=12\displaystyle \log _{2} \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{1}{2} 을 만족시킨다. 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제nn항까지의 합을 SnS _{n}이라 할 때, S12S6\displaystyle \frac{S _{12}}{S _{6}}의 값은? [3점] ①172\displaystyle \frac{17}{2}②99③192\displaystyle \frac{19}{2}④1010⑤212\displaystyle \frac{21}{2}

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②

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해설

[출제의도] 등비수열을 활용하여 문제 해결하기 log⁡2an+1an=12\displaystyle \log _{2} \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{1}{2}, an+1an=2\displaystyle \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \sqrt{2}, an+1=2an\displaystyle a _{n + 1} = \sqrt{2} a _{n} a1=aa _{1} = a라 하면 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 첫째항이 aa이고 공비가 2\displaystyle \sqrt{2}인 등비수열이므로 Sn=a{(2)n−1}2−1\displaystyle S _{n} = \frac{a \left\{ \left( \sqrt{2} \right) ^{n} - 1 \right\}}{\sqrt{2} - 1} 따라서 S12S6=(2)12−1(2)6−1=26−123−1=9\displaystyle \frac{S _{12}}{S _{6}} \mathit{=} \frac{\left( \sqrt{2} \right) ^{12} - 1}{\left( \sqrt{2} \right) ^{6} - 1} = \frac{2 ^{6} - 1}{2 ^{3} - 1} = 9

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