대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등비수열 합의 비

문제

등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제nn항까지의 합을 SnS _{n}이라 하자. a1=1,S6S3=2a4−7\displaystyle a _{1} = 1 , \frac{S _{6}}{S _{3}} = 2 a _{4} - 7 일 때, a7a _{7}의 값을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 등비수열의 일반항과 합을 이용하여 특정한 항의 값을 구할 수 있는가? a1=1a _{1} = 1이므로 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 공비를 rr라 하면 an=1×rn−1=rn−1a _{n} = 1 \times r ^{n - 1} = r ^{n - 1} S6S3=r6−1r−1r3−1r−1\displaystyle \frac{S _{6}}{S _{3}} = \frac{\frac{r ^{6} - 1}{r - 1}}{\frac{r ^{3} - 1}{r - 1}}=r6−1r3−1\displaystyle = \frac{r ^{6} - 1}{r ^{3} - 1}=(r3+1)(r3−1)r3−1\displaystyle = \frac{( r ^{3} + 1 ) ( r ^{3} - 1 )}{r ^{3} - 1}=r3+1= r ^{3} + 1 ⋯⋯\cdots \cdots㉠ 또, 2a4−7=2r3−72 a _{4} - 7 = 2 r ^{3} - 7 ⋯⋯\cdots \cdots㉡ ㉠과 ㉡이 같아야 하므로 r3+1=2r3−7r ^{3} + 1 = 2 r ^{3} - 7, r3=8r ^{3} = 8 ∴ r=2r = 2 따라서 ∴ a7=26=64a _{7} = 2 ^{6} = 64

태그

#등비수열의 합#공비

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