등비수열 합과 역수합

[출제의도] 등비수열의 합을 이용하여 등식을 만족시키는 조건을 구한다. 주어진 등비수열의 일반항을 $b _{n}$, 공비를 $r$라 하면 $b _{1} = 3$이므로 $b _{n} = 3 r ^{n - 1}$이고, 수열 $\displaystyle \left\{ \frac{1}{b _{n}} \right\}$은 첫째항이 $\displaystyle \frac{1}{3}$, 공비가 $\displaystyle \frac{1}{r}$인 등비수열이다. $3 + a _{1} + a _{2} + \cdots + a _{10} + 40$$\displaystyle = \frac{3 ( r ^{12} - 1 )}{r - 1}$ $\displaystyle \frac{1}{3} + \frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + \cdots + \frac{1}{a _{10}} + \frac{1}{40}$ $\displaystyle = \frac{\frac{1}{3} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{r} \right) ^{12} \right\}}{1 - \frac{1}{r}}$$\displaystyle = \frac{r ( r ^{12} - 1 )}{3 r ^{12} ( r - 1 )}$ $3 + a _{1} + a _{2} + \cdots + a _{10} + 40$$\displaystyle = k \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + \cdots + \frac{1}{a _{10}} + \frac{1}{40} \right)$ $\displaystyle \frac{3 ( r ^{12} - 1 )}{r - 1} = \frac{kr ( r ^{12} - 1 )}{3 r ^{12} ( r - 1 )}$ ∴ $k = 9 r ^{11}$ $b _{12} = 3 r ^{11} = 40$이므로 $k = 9 r ^{11}$$= 3 \cdot 3 r ^{11} = 3 \times 40$$= 120$