등비수열 합 조건

[출제의도] 등비수열의 합을 이해하여 수열의 항을 구한다. 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공비를 $r$라 하자. $r = 1$이면 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} = 2$이므로 조건 (나)에서 $S _{12} - S _{10}$$= a _{11} + a _{12}$$= 4 > 0$ 이 되어 조건을 만족시키지 않는다. 따라서 $r \ne 1$이다. 이때 $\displaystyle S _{n} = \frac{2 \left( r ^{n} - 1 \right)}{r - 1}$이므로 조건 (가)에서 $\displaystyle \frac{2 \left( r ^{12} - 1 \right)}{r - 1} - \frac{2 \left( r ^{2} - 1 \right)}{r - 1} = 4 \times \frac{2 \left( r ^{10} - 1 \right)}{r - 1}$ $r ^{2} \left( r ^{10} - 1 \right) = 4 \left( r ^{10} - 1 \right)$ $r \ne 1$에서 $r ^{10} - 1 \ne 0$이므로 $r ^{2} = 4$ $r = 2$ 또는 $r = \mathit{-} 2$ $a _{11} + a _{12}$$= 2 r ^{10} + 2 r ^{11}$$= 2 r ^{10} \left( 1 + r \right)$ 이고 조건 (나)에서 $S _{12} - S _{10} = a _{11} + a _{12} =$$2 r ^{10} \left( 1 + r \right) < 0$, 즉 $r < \mathit{-} 1$ 따라서 $r = \mathit{-} 2$이므로 $a _{4} = 2 \times \left( - 2 \right) ^{3} = \mathit{-} 16$ [다른 풀이] 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공비를 $r$라 할 때, 조건 (나)에서 $S _{12} - S _{10} < 0$ $S _{12} - S _{10}$$= a _{11} + a _{12}$$= 2 r ^{10} + 2 r ^{11}$ $= 2 r ^{10} \left( 1 + r \right)$$< 0$ 따라서 $r < \mathit{-} 1$이다. 조건 (가)에서 $S _{12} - S _{2}$$= 4 S _{10}$ $\left( a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{12} \right) - \left( a _{1} + a _{2} \right)$$= 4 \left( a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{10} \right)$ 이므로 $\left( a _{3} + a _{4} + a _{5} + \cdots + a _{12} \right) = 4 \left( a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{10} \right)$ $r ^{2} \left( a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{10} \right) = 4 \left( a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{10} \right)$ $\displaystyle a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{10} = \frac{2 \left( r ^{10} - 1 \right)}{r - 1} \ne 0$이므로 $r ^{2} = 4$ $r < \mathit{-} 1$이므로 $r = \mathit{-} 2$이다. 따라서 $a _{4} = 2 \times \left( - 2 \right) ^{3} = \mathit{-} 16$