등비수열 합

[출제의도] 등비수열의 합을 활용하여 문제해결하기 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공비를 $r$ $\left( r > 0 \right)$이라 하자. $r = 1$이면 $\displaystyle \frac{S _{6}}{S _{5} - S _{2}} = \frac{3 \times 6}{3 \times 5 - 3 \times 2} = 2$, $\displaystyle \frac{a _{2}}{2} = \frac{3}{2}$에서 $\displaystyle \frac{S _{6}}{S _{5} - S _{2}} = \frac{a _{2}}{2}$가 성립하지 않으므로 $r \ne 1$ $\displaystyle \frac{S _{6}}{S _{5} - S _{2}}$$\displaystyle = \frac{\frac{3 \left( r ^{6} - 1 \right)}{r - 1}}{\frac{3 \left( r ^{5} - 1 \right)}{r - 1} - \frac{3 \left( r ^{2} - 1 \right)}{r - 1}}$ $\displaystyle = \frac{r ^{6} - 1}{r ^{5} - r ^{2}}$ $\displaystyle = \frac{\left( r ^{3} + 1 \right) \left( r ^{3} - 1 \right)}{r ^{2} \left( r ^{3} - 1 \right)}$ $\displaystyle = \frac{r ^{3} + 1}{r ^{2}}$ $\displaystyle \frac{a _{2}}{2} = \frac{3 r}{2}$이므로 $\displaystyle \frac{r ^{3} + 1}{r ^{2}} = \frac{3 r}{2}$에서 $2 \left( r ^{3} + 1 \right) = 3 r ^{3}$, $r ^{3} = 2$ 따라서 $a _{4} = ar ^{3} = 3 \times 2 = 6$