미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

등비수열 행렬과 급수

문제

공비가 11이 아닌 두 등비수열 {an}\{ a _{n} \}, {bn}\{ b _{n} \}에 대하여 행렬 (anan+1bn+1bn)\displaystyle \begin{pmatrix} {a _{n}} & {a _{n+1}} \\ {b _{n+1}} & {b _{n}} \end{pmatrix}이 역행렬을 갖지 않는다고 하자. 수열 {an}\{ a _{n} \}이 발산할 때, ∑n=1∞bn\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} b _{n}의 값과 같은 것은? (단, 모든 자연수 nn에 대하여 ana _{n}, bnb _{n}은 양수이다.) [4점] ①a1b1a2−a1\displaystyle \frac{a _{1} b _{1}}{a _{2} - a _{1}}②a2b1a2−a1\displaystyle \frac{a _{2} b _{1}}{a _{2} - a _{1}}③a1b2a2−a1\displaystyle \frac{a _{1} b _{2}}{a _{2} - a _{1}}④a1b1a1−a2\displaystyle \frac{a _{1} b _{1}}{a _{1} - a _{2}}⑤a1b2a1−a2\displaystyle \frac{a _{1} b _{2}}{a _{1} - a _{2}}

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②

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해설

두 등비수열 {ana _{n}}, {bnb _{n}}의 공비를 각각 r,sr , s이라 하자. 주어진 행렬이 역행렬을 갖지 않으므로 anbn−an+1bn+1a _{n} b _{n} - a _{n+1} b _{n+1}=(a1rn−1)(b1sn−1)−(a1rn)(b1sn)= ( a _{1} r ^{n-1} ) ( b _{1} s ^{n-1} ) - ( a _{1} r ^{n} ) ( b _{1} s ^{n} ) =(a1rn−1)(b1sn−1)(1−rs)=0= ( a _{1} r ^{n-1} ) ( b _{1} s ^{n-1} ) ( 1 - rs ) = 0 ∴ rs=1rs = 1 따라서 s=1r\displaystyle s = \frac{1}{r}이므로 ∑n=1∞bn=b11−s\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} b _{n} = \frac{b _{1}}{1 - s}=b11−1r\displaystyle = \frac{b _{1}}{1 - \frac{1}{r}}=b1⋅rr−1\displaystyle = \frac{b _{1} \cdot r}{r - 1}=b1⋅arar−a\displaystyle = \frac{b _{1} \cdot ar}{ar - a} =a2b1a2−a1\displaystyle = \frac{a _{2} b _{1}}{a _{2} - a _{1}} (∵ ar=a2ar = a _{2})

태그

#무한등비급수#행렬

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