등비수열 곱의 급수

[출제의도] 등비급수의 합을 이해하여 관련 문항을 해결할 수 있다. 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 첫째항이 $a _{1}$이고 공비가 $\displaystyle \frac{1}{2}$인 등비수열이므로 $\displaystyle a _{n} = a _{1} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1}$ 수열 $\left\{ a _{n} \times a _{n + 1} \right\}$의 일반항을 구하면 $a _{n} \times a _{n + 1}$$\displaystyle = a _{1} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} \times a _{1} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}$$\displaystyle = a _{1} ^{2} \left( \frac{1}{2} \right) ^{2 n - 1}$$\displaystyle = 2 a _{1} ^{2} \left( \frac{1}{4} \right) ^{n}$ 이므로 수열 $\left\{ a _{n} \times a _{n + 1} \right\}$은 첫째항이 $2 a _{1} ^{2}$이고 공비가 $\displaystyle \frac{1}{4}$인 등비수열 이다. 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \frac{\frac{1}{2} a _{1} ^{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{2 a _{1} ^{2}}{3} > 16$ $a _{1} ^{2} > 24$이므로 자연수 $a _{1}$의 최솟값은 $5$