미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등비수열 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 a1=2a _{1} = 2이고, 모든 자연수 nn에 대하여 an+1=2ana _{n + 1} = 2 a _{n}을 만족시킬 때, lim⁡n→∞a3n+2+a8a3n−2+a2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{3 n + 2} + a _{8}}{a _{3 n - 2} + a _{2}}}의 값을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 무한수열의 극한 이해하기 a1=2a _{1} = 2, an+1=2ana _{n + 1} = 2 a _{n}이므로 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 등비수열이고 일반항 an=2na _{n} = 2 ^{n}이다. lim⁡n→∞a3n+2+a8a3n−2+a2=lim⁡n→∞23n+2+2823n−2+22=24=16\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{3 n + 2} + a _{8}}{a _{3 n - 2} + a _{2}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 ^{3 n + 2} + 2 ^{8}}{2 ^{3 n - 2} + 2 ^{2}} = 2 ^{4} = 16}

태그

#수열의 극한#등비수열

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