등비중항과 지수

세 수 $a ^{n}$, $2 ^{4} \times 3 ^{6}$, $b ^{n}$이 이 순서대로 등비수열을 이루므로 $( 2 ^{4} \times 3 ^{6} ) ^{2} = a ^{n} b ^{n} = ( ab ) ^{n}$ $2 ^{8} \times 3 ^{12} = ( ab ) ^{n}$ 이때, $ab$의 값이 최소가 되려면 자연수 $n$의 값이 최대가 되어야 한다. 그런데, $2$와 $3$이 서로소이므로 $n$의 값은 $8$과 $12$의 최대공약수인 $4$이다. $\therefore ( ab ) ^{n} = ( 2 ^{2} \times 3 ^{3} ) ^{4} = 108 ^{4}$ 따라서 $ab$의 최솟값은 $108$이다.