대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등비중항과 등차중항

문제

서로 다른 세 수 aa, bb, 33이 이 순서로 등비수열을 이루고, 1212, 3a3 a, 2b2 b가 이 순서로 등차수열을 이룰 때, 9a2+b29 a ^{2} + b ^{2}의 값을 구하시오. [3점]

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20

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해설

[출제의도] 등차중항과 등비중항 이해하기 b2=3ab ^{2} = 3 a, 6a=12+2b6 a = 12 + 2 b 2b2−2b−12=02 b ^{2} - 2 b - 12 = 0, b2−b−6=(b−3)(b+2)=0b ^{2} - b - 6 = ( b - 3 ) ( b + 2 ) = 0 {a=43b=−2\displaystyle \begin{cases} a = \frac{4}{3} \\ b = - 2 \end{cases} 또는 {a=3b=3\displaystyle \begin{cases} a = 3 \\ \\ b = 3 \end{cases} aa, bb는 서로 다른 수이므로 a=43\displaystyle a = \frac{4}{3}, b=−2b = - 2 ∴\therefore9a2+b2=209 a ^{2} + b ^{2} = 20

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