등비급수와 사인

등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라 하자. 급수 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} + a _{n + 1} \right)$은 첫째항이 $\left( a + ar \right)$, 공비가 $r$인 등비급수이고 그 합이 $5$이므로 $- 1 < r < 1$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} + a _{n + 1} \right) = \frac{a \left( 1 + r \right)}{1 - r} = 5$ $\cdots \cdots$㉠ ㉠에서 $a > 0$이다. (ⅰ) $r = 0$인 경우 $n \geq 2$이면 $a _{n} = 0$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \left| a _{n + 1} + a _{n + 2} \right| \times \sin \frac{n \pi}{2} \right) = 0$ (ⅱ) $r > 0$인 경우 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} = ar ^{n - 1} > 0$이므로 $a _{n + 1} + a _{n + 2} > 0$이다. 수열 $\displaystyle \left\{ \left| a _{n + 1} + a _{n + 2} \right| \times \sin \frac{n \pi}{2} \right\}$의 항을 첫째항부터 차례로 나열하면 $\left( a _{2} + a _{3} \right)$, $0$, $- \left( a _{4} + a _{5} \right)$, $0$, $\cdots$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \left| a _{n + 1} + a _{n + 2} \right| \times \sin \frac{n \pi}{2} \right)$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( - 1 \right) ^{n - 1} \left( a _{2 n} + a _{2 n + 1} \right)$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ar \left( 1 + r \right) \left( - r ^{2} \right) ^{n - 1} = \frac{ar \left( 1 + r \right)}{1 + r ^{2}} = 2$ $\cdots \cdots$㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle \frac{2}{5} = \frac{r \left( 1 - r \right)}{1 + r ^{2}}$, $7 r ^{2} - 5 r + 2 = 0$이고 이차방정식 $7 r ^{2} - 5 r + 2 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D = \left( - 5 \right) ^{2} - 4 \times 7 \times 2 = - 31 < 0$이므로 $r > 0$인 실수 $r$는 존재하지 않는다. (ⅲ) $r < 0$인 경우 $- 1 < r < 0$이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{2 n} + a _{2 n + 1} = ar ^{2 n - 1} + ar ^{2 n} = ar ^{2 n - 1} \left( 1 + r \right) < 0$ 수열 $\displaystyle \left\{ \left| a _{n + 1} + a _{n + 2} \right| \times \sin \frac{n \pi}{2} \right\}$의 항을 첫째항부터 차례로 나열하면 $- \left( a _{2} + a _{3} \right)$, $0$, $\left( a _{4} + a _{5} \right)$, $0$, $\cdots$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \left| a _{n + 1} + a _{n + 2} \right| \times \sin \frac{n \pi}{2} \right)$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( - 1 \right) ^{n} \left( a _{2 n} + a _{2 n + 1} \right)$ $\displaystyle = - \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ar \left( 1 + r \right) \left( - r ^{2} \right) ^{n - 1} = - \frac{ar \left( 1 + r \right)}{1 + r ^{2}} = 2$ $\cdots \cdots$㉢ ㉠, ㉢에서 $\displaystyle - \frac{2}{5} = \frac{r \left( 1 - r \right)}{1 + r ^{2}}$, $3 r ^{2} - 5 r - 2 = 0$ $\displaystyle r = - \frac{1}{3}$ 또는 $r = 2$, $- 1 < r < 0$이므로 $\displaystyle r = - \frac{1}{3}$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $\displaystyle r = - \frac{1}{3}$이고 ㉠에서 $a = 10$ 수열 $\left\{ a _{3 n} \right\}$은 첫째항이 $\displaystyle a _{3} = ar ^{2} = \frac{10}{9}$이고 공비가 $\displaystyle r ^{3} = - \frac{1}{27}$인 등비수열이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( 100 a _{n} - ma _{3 n} \right)$$\displaystyle = 100 \times \frac{10}{1 + \frac{1}{3}} - m \times \frac{\frac{10}{9}}{1 + \frac{1}{27}}$ $\displaystyle = 15 \times \frac{700 - m}{14}$ $14$와 $15$는 서로소이므로 $\displaystyle 15 \times \frac{700 - m}{14}$의 값이 자연수가 되려면 자연수 $k \left( k < 50 \right)$에 대하여 $m = 700 - 14 k$ 따라서 자연수 $m$의 최댓값은 $k = 1$일 때 $686$