등비급수와 도형

그림과 같이 한 변의 길이가 $5$인 정사각형 ${\mathrm{ABCD}}$에 중심이 ${\mathrm{A}}$이고 중심각의 크기가 $90 ^\circ$인 부채꼴 ${\mathrm{ABD}}$를 그린다. 선분 ${\mathrm{AD}}$를 $3 : 2$로 내분하는 점을 ${\mathrm{A}} _{1}$, 점 ${\mathrm{A}} _{1}$을 지나고 선분 ${\mathrm{AB}}$에 평행한 직선이 호 ${\mathrm{BD}}$ 와 만나는 점을 ${\mathrm{B}} _{1}$이라 하자. 선분 ${\mathrm{A}} _{1} {\mathrm{B}} _{1}$을 한 변으로 하고 선분 ${\mathrm{DC}}$와 만나도록 정사각형 ${\mathrm{A}} _{1} {\mathrm{B}} _{1} {\mathrm{C}} _{1} {\mathrm{D}} _{1}$을 그린 후, 중심이 ${\mathrm{D}} _{1}$이고 중심각의 크기가 $90 ^\circ$인 부채꼴 ${\mathrm{D}} _{1} {\mathrm{A}} _{1} {\mathrm{C}} _{1}$을 그린다. 선분 ${\mathrm{DC}}$가 호 ${\mathrm{A}} _{1} {\mathrm{C}} _{1}$, 선분 ${\mathrm{B}} _{1} {\mathrm{C}} _{1}$과 만나는 점을 각각 ${\mathrm{E}} _{1}$, ${\mathrm{F}} _{1}$이라 하고, 두 선분 ${\mathrm{DA}} _{1}$, ${\mathrm{DE}} _{1}$과 호 ${\mathrm{A}} _{1} {\mathrm{E}} _{1}$로 둘러싸인 부분과 두 선분 ${\mathrm{E}} _{1} {\mathrm{F}} _{1}$, ${\mathrm{F}} _{1} {\mathrm{C}} _{1}$과 호 ${\mathrm{E}} _{1} {\mathrm{C}} _{1}$로 둘러싸인 부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R _{1}$이라 하자. 그림 $R _{1}$에서 정사각형 ${\mathrm{A}} _{1} {\mathrm{B}} _{1} {\mathrm{C}} _{1} {\mathrm{D}} _{1}$에 중심이 ${\mathrm{A}} _{1}$이고 중심각의 크기가 $90 ^\circ$인 부채꼴 ${\mathrm{A}} _{1} {\mathrm{B}} _{1} {\mathrm{D}} _{1}$을 그린다. 선분 ${\mathrm{A}} _{1} {\mathrm{D}} _{1}$을 $3 : 2$로 내분하는 점을 ${\mathrm{A}} _{2}$, 점 ${\mathrm{A}} _{2}$를 지나고 선분 ${\mathrm{A}} _{1} {\mathrm{B}} _{1}$에 평행한 직선이 호 ${\mathrm{B}} _{1} {\mathrm{D}} _{1}$과 만나는 점을 ${\mathrm{B}} _{2}$라 하자. 선분 ${\mathrm{A}} _{2} {\mathrm{B}} _{2}$를 한 변으로 하고 선분 ${\mathrm{D}} _{1} {\mathrm{C}} _{1}$과 만나도록 정사각형 ${\mathrm{A}} _{2} {\mathrm{B}} _{2} {\mathrm{C}} _{2} {\mathrm{D}} _{2}$를 그린 후, 그림 $R _{1}$을 얻은 것과 같은 방법으로 정사각형 ${\mathrm{A}} _{2} {\mathrm{B}} _{2} {\mathrm{C}} _{2} {\mathrm{D}} _{2}$에 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R _{2}$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R _{n}$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n}$의 값은? [4점]

①$\displaystyle \frac{50}{3} \left( 3 - \sqrt{3} + \frac{\pi}{6} \right)$②$\displaystyle \frac{100}{9} \left( 3 - \sqrt{3} + \frac{\pi}{3} \right)$③$\displaystyle \frac{50}{3} \left( 2 - \sqrt{3} + \frac{\pi}{3} \right)$④$\displaystyle \frac{100}{9} \left( 3 - \sqrt{3} + \frac{\pi}{6} \right)$⑤$\displaystyle \frac{100}{9} \left( 2 - \sqrt{3} + \frac{\pi}{3} \right)$