등비급수의 합

[출제의도] 등비급수를 이해하여 급수의 합을 구한다. 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라 하자. 급수 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{a _{n}}{3 ^{n}}$은 첫째항이 $\displaystyle \frac{a}{3}$, 공비가 $\displaystyle \frac{r}{3}$인 등비급수이고 수렴하므로 $\displaystyle - 1 < \frac{r}{3} < 1$, $- 3 < r < 3$ $\cdots \cdots$ ㉠ 급수 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{a _{2 n}}$은 첫째항이 $\displaystyle \frac{1}{ar}$, 공비가 $\displaystyle \frac{1}{r ^{2}}$인 등비급수이고 수렴하므로 $\displaystyle - 1 < \frac{1}{r ^{2}} < 1$, $r ^{2} > 1$ $\cdots \cdots$ ㉡ 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 모든 항이 자연수이므로 ㉠, ㉡에서 $r = 2$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{a _{n}}{3 ^{n}} = \frac{\frac{a}{3}}{1 - \frac{2}{3}}$$= a$$= 4$ $a _{n} = 4 \times 2 ^{n - 1}$$= 2 ^{n + 1}$이므로 $S$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{a _{2 n}}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{2 ^{2 n + 1}}$$\displaystyle = \frac{\frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{4}}$$\displaystyle = \frac{1}{6}$