미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등비급수의 곱

문제

두 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}에 대하여 a1=b1=1a _{1} = b _{1} = 1이고 ∑n=1∞an=4\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = 4, ∑n=1∞bn=2\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n} = 2일 때, ∑n=1∞anbn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} b _{n}의 값은? [3점] ①65\displaystyle \frac{6}{5}②75\displaystyle \frac{7}{5}③85\displaystyle \frac{8}{5}④95\displaystyle \frac{9}{5}⑤22

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③

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해설

[출제의도] 등비급수 이해하기 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 공비를 r1r _{1}, 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}의 공비를 r2r _{2}라 할 때, ∑n=1∞an=11−r1=4\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = \frac{1}{1 - r _{1}} = 4이므로 r1=34\displaystyle r _{1} = \frac{3}{4} ∑n=1∞bn=11−r2=2\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n} = \frac{1}{1 - r _{2}} = 2이므로 r2=12\displaystyle r _{2} = \frac{1}{2} anbn=(38)n−1\displaystyle a _{n} b _{n} = \left( \frac{3}{8} \right) ^{n - 1}이므로 ∑n=1∞anbn=11−38=85\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} b _{n} = \frac{1}{1 - \frac{3}{8}} = \frac{8}{5}

태그

#등비급수

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