미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

등비급수 수렴 조건

문제

등비급수 ∑n=1∞(2x−37)n\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{2 x - 3}{7} \right) ^{n}이 수렴하도록 하는 정수 xx의 개수는? [3점] ①22②44③66④88⑤1010

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③

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해설

[출제의도] 등비급수가 수렴하도록 하는 정수의 개수를 구한다. xx가 정수일 때, 급수 ∑n=1∞(2x−37)n\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{2 x - 3}{7} \right) ^{n}은 첫째항과 공비가 모두 2x−37\displaystyle \frac{2 x - 3}{7}인 등비급수이다. 그러므로 등비급수 ∑n=1∞(2x−37)n\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{2 x - 3}{7} \right) ^{n}이 수렴하기 위한 필요충분조건은 −1<2x−37<1\displaystyle - 1 < \frac{2 x - 3}{7} < 1이다. −7<2x−3<7- 7 < 2 x - 3 < 7 −4<2x<10- 4 < 2 x < 10 −2<x<5- 2 < x < 5 따라서 정수 xx의 개수는 5−(−2)−1=65 - \left( - 2 \right) - 1 = 6

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#등비급수#수렴 조건

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