등비급수 수렴 조건

등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공비를 $r$이라 하면 $a _{1} = 1$이므로 $a _{n} = r ^{n - 1}$ (단, $n$은 자연수) 급수 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{} a _{n}$이 수렴하므로 $- 1 < r < 0$ 또는 $0 < r < 1$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{} \left( 20 a _{2 n} + 21 \left| a _{3 n - 1} \right| \right) = 0$에서 $0 < r < 1$이면 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( 20 a _{2 n} + 21 \left| a _{3 n - 1} \right| \right) > 0$이므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다. 그러므로 $- 1 < r < 0$ $\left\{ a _{2 n} \right\}$은 공비가 $r ^{2}$인 등비수열이고 $\left\{ \left| a _{3 n - 1} \right| \right\}$은 공비가 $- r ^{3}$인 등비수열이다. $0 < r ^{2} < 1$, $- 1 < \mathit{-} r ^{3} < 0$이므로 두 급수 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{} a _{2 n}$, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{} \left| a _{3 n - 1} \right|$은 수렴한다. $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( 20 a _{2 n} + 21 \left| a _{3 n - 1} \right| \right)$ $\displaystyle = \frac{20 r}{1 - r ^{2}} + \frac{21 \left| a _{2} \right|}{1 - \left( - r ^{3} \right)} = \frac{20 r}{1 - r ^{2}} + \frac{21 \times \left( - r \right)}{1 + r ^{3}} = 0$ $20 \left( 1 - r + r ^{2} \right) - 21 \left( 1 - r \right) = 0$ $20 r ^{2} + r - 1 = 0$ $\left( 5 r - 1 \right) \left( 4 r + 1 \right) = 0$ $- 1 < r < 0$이므로 $\displaystyle r = - \frac{1}{4}$ $\displaystyle a _{n} = \left( - \frac{1}{4} \right) ^{n - 1}$ 급수 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{3 \left| a _{n} \right| + b _{n}}{a _{n}}$이 수렴하므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3 \left| a _{n} \right| + b _{n}}{a _{n}} = 0$ 등비수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 공비를 $s$라 하면 $\displaystyle \frac{b _{n}}{a _{n}} = b _{1} \times \left( - 4 s \right) ^{n - 1}$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3 \left| a _{n} \right| + b _{n}}{a _{n}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left\{ 3 \times \left( - 1 \right) ^{n - 1} + b _{1} \times \left( - 4 s \right) ^{n - 1} \right\}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left[ \left( - 1 \right) ^{n - 1} \left\{ 3 + b _{1} \times \left( 4 s \right) ^{n - 1} \right\} \right]$ (ⅰ) $- 1 < 4 s < 1$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( 4 s \right) ^{n - 1} = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left\{ 3 + b _{1} \times \left( 4 s \right) ^{n - 1} \right\} = 3$ 그러므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3 \left| a _{n} \right| + b _{n}}{a _{n}}$이 발산한다. (ⅱ) $4 s < \mathit{-} 1$ 또는 $4 s > 1$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left\{ 3 + b _{1} \times \left( 4 s \right) ^{n - 1} \right\}$은 발산하므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3 \left| a _{n} \right| + b _{n}}{a _{n}}$이 발산한다. (ⅲ) $4 s = - 1$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3 \left| a _{n} \right| + b _{n}}{a _{n}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left\{ 3 \times \left( - 1 \right) ^{n - 1} + b _{1} \right\}$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left\{ 3 \times \left( - 1 \right) ^{n - 1} \right\}$은 발산하므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3 \left| a _{n} \right| + b _{n}}{a _{n}}$이 발산한다. $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left\{ 3 \times \left( - 1 \right) ^{n - 1} \right\}$은 발산하므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3 \left| a _{n} \right| + b _{n}}{a _{n}}$이 발산한다. (ⅳ) $4 s = 1$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3 \left| a _{n} \right| + b _{n}}{a _{n}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left\{ \left( - 1 \right) ^{n - 1} \times \left( 3 + b _{1} \right) \right\}$ $b _{1} = - 3$일 때, 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \frac{3 \left| a _{n} \right| + b _{n}}{a _{n}} = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3 \left| a _{n} \right| + b _{n}}{a _{n}} = 0$, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{3 \left| a _{n} \right| + b _{n}}{a _{n}} = 0$ (ⅰ)$\sim$(ⅳ)에 의하여 $b _{1} = - 3$, $\displaystyle s = \frac{1}{4}$ $\displaystyle b _{n} = \left( - 3 \right) \times \left( \frac{1}{4} \right) ^{n - 1}$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n} = \frac{- 3}{1 - \frac{1}{4}} = - 4$ 따라서 $\displaystyle b _{1} \times \sum\limits _{n = 1} ^{} b _{n} = 12$