미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

등비급수 오차 최소 n

문제

무한급수 P(x)=x+x2+⋯+xn+⋯P ( x ) = x + x ^{2} + \cdots + x ^{n} + \cdots 와 이 무한급수의 제 nn항까지의 부분합 Pn(x)=x+x2+⋯+xnP _{n} ( x ) = x + x ^{2} + \cdots + x ^{n}에 대하여 P(12)−Pn(12)<11010\displaystyle P \left( \frac{1}{2} \right) - P _{n} \left( \frac{1}{2} \right) < \frac{1}{10 ^{10}} 을 만족하는 자연수 nn의 최소값을 구하시오. (단, log⁡2=0.3010\log 2 = 0.3010로 계산한다.) [4점]

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해설

[출제의도] 무한등비급수의 합을 구할 수 있다. P(12)−Pn(12)=(12)n+1+(12)n+2+⋯\displaystyle P \left( \frac{1}{2} \right) - P _{n} \left( \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+1} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+2} + \cdots=(12)n+11−12=12n\displaystyle = \frac{\left( \frac{1}{2} \right) ^{n+1}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 ^{n}} 12n<11010\displaystyle \frac{1}{2 ^{n}} < \frac{1}{10 ^{10}}의 양변에 상용로그를 취하면 −nlog⁡2<−10- n \log 2 < - 10, n>10log⁡2=33.2\displaystyle n > \frac{10}{\log 2} = 33. 2××× 따라서, 자연수 nn의 최소값은 3434이다.

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