미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

등비급수 조건 항

문제

모든 항이 양수인 무한수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 이 다음 세 조건을 모두 만족할 때 $a _{5}$ 의 값은? [4점]

(가) $a _{n + 1} ^{2} = a _{n} a _{n + 2} ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )$ (나) $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = 2 ( a _{1} + a _{2} )$ (다) $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} ^{2} = 2 ( a _{1} + a _{3} )$

① $\displaystyle \frac{3}{8}$ ② $\displaystyle \frac{1}{2}$ ③ $\displaystyle \frac{3}{4}$ ④ $1$ ⑤ $\displaystyle \frac{3}{2}$

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①

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해설

[출제의도] 등비수열의 관계식과 무한등비급수의 합을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. (가)에서 $\left\{ a _{n} \right\}$ 은 등비수열이다. 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 의 첫째항을 $a$ , 공비를 $r$ 라 하면 (나)에서 $\displaystyle \frac{a}{1 - r} = 2 ( a + ar )$ 이고 $a \ne 0$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{1 - r} = 2 ( 1 + r )$ , $\displaystyle 1 - r ^{2} = \frac{1}{2}$ $\displaystyle \therefore r ^{2} = \frac{1}{2}$ (다)에서 $\displaystyle \frac{a ^{2}}{1 - r ^{2}} = 2 ( a + ar ^{2} )$ 이고 $\displaystyle r ^{2} = \frac{1}{2}$ 이므로 $\displaystyle \frac{a ^{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \left( a + \frac{1}{2} a \right)$ , $2 a ^{2} = 3 a$ $\displaystyle \therefore a = \frac{3}{2}$ 따라서 $\displaystyle a _{5} = ar ^{4} = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} = \frac{3}{8}$

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