미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

등비급수 조건

문제

첫째항과 공비가 모두 00이 아닌 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 a1+m∑n=2∞an=0\displaystyle a _{1} + m \sum\limits _{n = 2} ^{\infty} a _{n} = 0을 만족시키는 자연수 mm의 최솟값을 NN이라 할 때, 10N10 N의 값을 구하시오. [4점]

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30

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해설

[출제의도] 무한등비급수의 성질 이해하기 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 공비를 rr(r≠0)( r \ne 0 )이라 하자. ∑n=2∞an=−a1m\displaystyle \sum\limits _{n = 2} ^{\infty} a _{n} = - \frac{a _{1}}{m}이므로 ∣r∣<1| r | < 1 ⋯\cdots㉠ ∑n=2∞an=a21−r=−a1m\displaystyle \sum\limits _{n = 2} ^{\infty} a _{n} = \frac{a _{2}}{1 - r} = - \frac{a _{1}}{m} a2a1=r\displaystyle \frac{a _{2}}{a _{1}} = r이므로 m=1−1r\displaystyle m = 1 - \frac{1}{r} ㉠에서 1∣r∣>1\displaystyle \frac{1}{| r |} > 1이므로 ∣1−m∣>1| 1 - m | > 1 m<0m < 0 또는 m>2m > 2 따라서 자연수 mm의 최솟값 NN은 33 그러므로 10N=3010 N = 30

태그

#등비급수#수렴 조건

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