등비급수 조건

등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$라 하면 $a _{n} = a \times r ^{n - 1}$ (단, $n$은 자연수) 조건 (가)에 의하여 $a \neq 0$, $r \neq 0$ 급수 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}$이 수렴하므로 $- 1 < r < 0$ 또는 $0 < r < 1$ (ⅰ) $0 < r < 1$인 경우 ① $a < 0$이면 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} < a _{n + 1}$이므로 $b _{n} = - a _{n}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 조건 (나)에서 $\displaystyle \left( \frac{- a}{1 - r} \right) ^{2} = 2 \times \frac{a ^{2}}{1 - r ^{2}}$ $2 \left( 1 - r \right) ^{2} = 1 - r ^{2}$ $2 \left( 1 - r \right) = 1 + r$이므로 $\displaystyle r = \frac{1}{3}$ ㉠에 의하여 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} + b _{n} = 0$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} + b _{n} \right) = 0$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} + b _{n} \right) = 63$을 만족시키지 않는다. ② $a > 0$이면 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} > a _{n + 1}$이므로 $b _{n} = a _{2 n} > 0$ $a _{n} b _{n} = a _{n} a _{2 n} > 0$이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $- 1 < r < 0$인 경우 ① $a < 0$이면 모든 자연수 $n$에 대하여 $n = 2 m - 1$ ($m$은 자연수)일 때, $a _{2 m - 1} < 0 < a _{2 m}$이므로 $b _{2 m - 1} = - a _{2 m - 1}$ $a _{n} b _{n} = - a _{2 m - 1} a _{2 m - 1} = - \left( a _{2 m - 1} \right) ^{2} < 0$ $n = 2 m \left( m \right.$은 자연수$\left. \right)$일 때, $a _{2 m + 1} < 0 < a _{2 m}$이므로 $b _{2 m} = a _{4 m} > 0$ $a _{n} b _{n} = a _{2 m} a _{4 m} > 0$이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. ② $a > 0$이면 모든 자연수 $n$에 대하여 $n = 2 m - 1$ ($m$은 자연수)일 때, $a _{2 m} < 0 < a _{2 m - 1}$이므로 $b _{2 m - 1} = a _{4 m - 2} < 0$ $a _{n} b _{n} = a _{2 m - 1} a _{4 m - 2} < 0$ $n = 2 m$ ($m$은 자연수)일 때, $a _{2 m} < 0 < a _{2 m + 1}$이므로 $b _{2 m} = - a _{2 m}$ $a _{n} b _{n} = - a _{2 m} a _{2 m} = - \left( a _{2 m} \right) ^{2} < 0$이므로 조건 (가)를 만족시킨다. 조건 (나)에서 $\displaystyle \left( \frac{a}{1 + r} \right) ^{2} = 2 \times \frac{a ^{2}}{1 - r ^{2}}$ $2 \left( 1 + r \right) ^{2} = 1 - r ^{2}$ $2 \left( 1 + r \right) = 1 - r$이므로 $\displaystyle r = - \frac{1}{3}$ $\displaystyle a _{n} + b _{n} = \begin{cases} a _{n} + a _{2 n} & & \left( n = 2 m - 1 \right) \\ 0 & & \left( n = 2 m \right) \end{cases}$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} + b _{n} \right)$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{2 n - 1} + a _{4 n - 2} \right)$ $\displaystyle = \frac{a}{1 - r ^{2}} + \frac{ar}{1 - r ^{4}}$$\displaystyle = \frac{63}{80} a = 63$ 그러므로 $a = 80$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $\displaystyle a _{n} = 80 \times \left( - \frac{1}{3} \right) ^{n - 1}$ $\displaystyle b _{2 n} = - a _{2 n} = \frac{80}{3} \times \left( \frac{1}{9} \right) ^{n - 1}$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{2 n} = \frac{\frac{80}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = 30$