미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

등비급수 부분 합

문제

첫째항이 11인 무한등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 ∑n=1∞an=3\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = 3일 때, ∑n=1∞(a3n−2−a3n−1)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{3 n - 2} - a _{3 n - 1} \right)의 값은? [3점] ①719\displaystyle \frac{7}{19}②819\displaystyle \frac{8}{19}③919\displaystyle \frac{9}{19}④1019\displaystyle \frac{10}{19}⑤1119\displaystyle \frac{11}{19}

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③

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해설

등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 공비를 rr라 하면 ∑n=1∞an=11−r=3\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = \frac{1}{1 - r} = 3이므로 r=23\displaystyle r = \frac{2}{3}이다. 수열 {a3n−2}\left\{ a _{3n-2} \right\}는 첫째항이 11이고 공비가 827\displaystyle \frac{8}{27}인 등비수열이고 수열 {a3n−1}\left\{ a _{3 n - 1} \right\}은 첫째항이 23\displaystyle \frac{2}{3}이고 공비가 827\displaystyle \frac{8}{27}인 등비수열이다. 따라서 ∑n=1∞(a3n−2−a3n−1)=11−827−231−827\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{3 n - 2} - a _{3 n - 1} \right) = \frac{1}{1 - \frac{8}{27}} - \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{8}{27}} =919\displaystyle = \frac{9}{19}

태그

#무한등비급수

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