공통수학2명제AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

드모르간으로 k의 최솟값

문제

실수 xx에 대한 두 조건 pp : x2−2x−8≤0x ^{2} - 2 x - 8 \leq 0,~~qq : ∣x−1∣≤k| x - 1 | \leq k 에 대하여 조건 ‘∼p\sim p 또는 ∼q\sim q’의 진리집합이 {x∣x←2\left\{ x \left| x \leftarrow 2 \right. \right. 또는 x>4}x > 4 \} 일 때, 양수 kk의 최솟값을 구하시오. [3점]

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해설

두 조건 pp, qq의 진리집합을 각각 PP, QQ라 하자. x2−2x−8≤0x ^{2} - 2 x - 8 \leq 0에서 (x+2)(x−4)≤0( x + 2 ) ( x - 4 ) \leq 0이므로 P={x∣−2≤x≤4}P = \left\{ x \left| - 2 \leq x \leq 4 \right\} \right. ∣x−1∣≤k| x - 1 | \leq k에서 Q={x∣1−k≤x≤1+k}Q = \left\{ x \left| 1 - k \leq x \leq 1 + k \right\} \right. ‘∼p\sim p 또는 ∼q\sim q’의 진리집합은 Pc∪Qc=(P∩Q)cP ^{c} \cup Q ^{c} = ( P \cap Q ) ^{c} 이것이 {x∣x←2\left\{ x \left| x \leftarrow 2 \right. \right. 또는 x>4}x > 4 \}이므로 P∩Q={x∣−2≤x≤4}=PP \cap Q = \left\{ x \left| - 2 \leq x \leq 4 \right\} = P \right. 즉 P⊂QP \subset Q이어야 하므로 1−k≤−21 - k \leq - 2이고 1+k≥41 + k \geq 4에서 k≥3k \geq 3 따라서 양수 kk의 최솟값은 33

태그

#조건의 부정#진리집합#드모르간의 법칙#절댓값 부등식

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