미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

덧셈정리와 거리

문제

그림과 같이 평면에 정삼각형 ABC\mathrm{ABC}와 C‾D=1\displaystyle \overline{\mathrm{C}} D = 1이고 ∠ACD=π4\displaystyle \angle \mathrm{A} CD = \frac{\pi}{4}인 점 D\mathrm{D}가 있다. 점 D\mathrm{D}와 직선 BC\mathrm{BC} 사이의 거리는? (단, 선분 CD\mathrm{C} D는 삼각형 ABC\mathrm{A} BC의 내부를 지나지 않는다.) [3점]

①6−26\displaystyle \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{6}②6−24\displaystyle \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}③6−23\displaystyle \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{3}④6+26\displaystyle \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{6}⑤6+24\displaystyle \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

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⑤

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해설

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 점과 직선 사이의 거리를 구한다. 점 D\mathrm{D}에서 직선 BC\mathrm{BC}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하면 점 D\mathrm{D}와 직선 BC\mathrm{BC} 사이의 거리는 DH‾\displaystyle {\overline{\mathrm{DH}}}의 길이와 같다. CD‾=1\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} = 1이므로 DH‾\displaystyle {\overline{\mathrm{DH}}}=CD‾×sin⁡(∠DCH)\displaystyle = \mathrm{\overline{CD}} \mathit{\times} \sin ( \angle \mathrm{DCH} ) =sin⁡(π−(π3+π4))\displaystyle = \sin \left( \pi - \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} \right) \right)=sin⁡(π3+π4)\displaystyle = \sin \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} \right) =sin⁡π3cos⁡π4+cos⁡π3sin⁡π4\displaystyle = \sin \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4} =6+24\displaystyle = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} 따라서 구하는 거리는 6+24\displaystyle \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

태그

#덧셈정리#정삼각형

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