미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

덧셈정리와 최댓값

문제

α+β=π4\displaystyle \alpha + \beta = \frac{\pi}{4}일 때, 2sin⁡α+2cos⁡β\displaystyle \sqrt{2} \sin \alpha + 2 \cos \beta의 최대값은? [4점] ①6\displaystyle \sqrt{6}②22\displaystyle 2 \sqrt{2}③10\displaystyle \sqrt{10}④23\displaystyle 2 \sqrt{3}⑤44

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③

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해설

2sin⁡α+2cos⁡(π4−α)\displaystyle \sqrt{2} \sin \alpha + 2 \cos ( \frac{\pi}{4} - \alpha ) =2sin⁡α+2{cos⁡π4cos⁡α+sin⁡π4sin⁡α}\displaystyle = \sqrt{2} \sin \alpha + 2 \left\{ \cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha + \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha \right\} =22sin⁡α+2cos⁡α=10sin⁡(α+θ)\displaystyle = 2 \sqrt{2} \sin \alpha + \sqrt{2} \cos \alpha = \sqrt{10} \sin ( \alpha + \theta ) (단, sin⁡θ=55\displaystyle \sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}, cos⁡θ=255\displaystyle \cos \theta = \frac{2 \sqrt{5}}{5} ∴\therefore최대값은 10\displaystyle \sqrt{10}

태그

#삼각함수의 덧셈정리#삼각함수의 합성

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