미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

덧셈정리 cos 값

문제

0<α<β<π2\displaystyle 0 < \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}인 두 수 α,β\alpha , \beta가 sin⁡αsin⁡β=3+14,cos⁡αcos⁡β=3−14\displaystyle \sin \alpha \sin \beta = \frac{\sqrt{3} + 1}{4} , \cos \alpha \cos \beta = \frac{\sqrt{3} - 1}{4} 을 만족시킬 때, cos⁡(3α+β)\cos ( 3 \alpha + \beta )의 값은? [3점] ①−1- 1②−32\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2}③−22\displaystyle - \frac{\sqrt{2}}{2}④−12\displaystyle - \frac{1}{2}⑤00

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②

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해설

0<α<β<π2\displaystyle 0 < \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}이므로 0<α+β<π0 < \alpha + \beta < \pi, 0<β−α<π2\displaystyle 0 < \beta - \alpha < \frac{\pi}{2}이다. cos⁡(α+β)\cos ( \alpha + \beta )=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta=−12\displaystyle = - \frac{1}{2}이고 cos⁡(β−α)\cos ( \beta - \alpha )=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta=32\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2}이므로 α+β=23π\displaystyle \alpha + \beta = \frac{2}{3} \pi, β−α=π6\displaystyle \beta - \alpha = \frac{\pi}{6} ∴ α\alpha=π4\displaystyle = \frac{\pi}{4}, β=\beta =512π\displaystyle \frac{5}{12} \pi ∴ cos⁡(3α+β)\cos ( 3 \alpha + \beta )=cos⁡76π\displaystyle = \cos \frac{7}{6} \pi=−cos⁡π6\displaystyle = - \cos \frac{\pi}{6}=−32\displaystyle = - \frac{\sqrt{3}}{2}

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#삼각함수 덧셈정리

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