단위분수 분해 빈칸

자연수 $n$, $x$, $y$에 대하여 $\displaystyle \frac{1}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ ($x \leq y$)과 같이 $\displaystyle \frac{1}{n}$을 두 분수의 합으로 나타낼 수 있는 방법의 수를 $a _{n}$이라 하자. 예를 들어, $\displaystyle 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$이므로 $a _{1} = 1$, $\displaystyle \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$이므로 $a _{2} = 2$, $\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6}$이므로 $a _{3} = 2$이다. 다음은 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 일반항을 구하는 과정이다.

자연수 $n$, $x$, $y$에 대하여 $\displaystyle \frac{1}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ ($x \leq y$)라 하면 $xy = n ( x + y )$이다. 따라서 $( x - n ) ( y - n ) = n ^{2} \cdots \cdots$(*) 이므로 $x - n$과 $y - n$은 $n ^{2}$의 약수이다. $d ( n )$을 $n$의 양의 약수의 개수라 하고, 방정식 (*)의 해의 개수를 구하면 i) $x = y$인 경우, $x = y =$ (가) 이므로 $1$개이다. ii) $x < y$인 경우, $x = y =$ (가) 이 제외되므로 $\displaystyle \frac{\square ( \text{나} )}{2}$ 개이다. 그러므로 $\displaystyle \frac{1}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$($x \leq y$)로 표시할 수 있는 방법의 수는 (다) 개이다. 따라서 구하는 수열의 일반항 $a _{n} =$ (다) 이다.

이 과정에서 (가)~(다)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은? [4점]