닮음행렬 거듭제곱

$P ^{20} = ( ABA ^{-1} ) ( ABA ^{-1} ) \cdots ( ABA ^{-1} ) = AB ^{20} A ^{-1} \cdots$(1) 케일리 헤밀턴 정리에 의하여 $B ^{2} - 2 B + E = O$ $\therefore B ^{2} = 2 B - E$ $B ^{3} = 2 B ^{2} - B = 2 ( 2 B - E ) - B = 3 B - 2 E$ $B ^{4} = 3 B ^{2} - 2 B = 3 ( 2 B - E ) - 2 B = 4 B - 3 E$ $\vdots$ $\displaystyle B ^{20} = 20 B - 19 E = \begin{pmatrix} 20 & 20 \\ 0 & 20 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 19 & 0 \\ 0 & 19 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 20 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdots$(2) 또한, $A ^{2} - E = O$이므로 $A = A ^{-1}$이다. 이 결과를 식 (1)에 대입하면 $\displaystyle P ^{20} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 20 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} 1 & - 20 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 따라서, 모든 성분의 합은 $1 - 20 + 1 = - 18$