공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

닮음변환과 회전변환

문제

그림과 같이 정육각형 OABCDE\mathrm{OABCDE}에 대하여 O(0,0)\mathrm{O} ( \mathit{0} , 0 ), A(1,0)\mathrm{A} ( \mathit{1} , 0 )이고, 직선 OB\mathrm{OB} 위의 점 P\mathrm{P}는 OP‾=2OB‾\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} = 2 \overline{OB}를 만족한다. 원점을 닮음의 중심으로 하는 닮음변환 ff와 원점을 중심으로 θ\theta만큼 회전시키는 회전변환 gg의 합성변환 g∘fg \circ f에 의하여 점 A\mathrm{A}가 점 P\mathrm{P}로 옮겨질 때, 합성변환 g∘fg \circ f를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합은? (\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right.단, 0<θ<π2)\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2} ) [4점]

①22②23\displaystyle 2 \sqrt{3}③66④63\displaystyle 6 \sqrt{3}⑤1818

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③

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해설

[출제의도] 일차변환을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 닮음변환 ff를 나타내는 행렬을 XX, 회전변환 gg를 나타내는 행렬을 YY라 할 때, ∠AOB=π6\displaystyle \angle {\mathrm{AOB}} = \frac{\pi}{6}, OB‾=3\displaystyle \overline{\mathrm{OB}} = \sqrt{3} 이므로 X=(230023)\displaystyle X = \begin{pmatrix} 2 \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 2 \sqrt{3} \end{pmatrix}, Y=(32−121232)\displaystyle Y = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} 이다. g∘fg \circ f를 나타내는 행렬은 YX=(3−333)\displaystyle Y X = {\begin{pmatrix} 3 & - \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 3 \end{pmatrix}} ∴\therefore모든 성분의 합은 66

태그

#일차변환#회전변환

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