닮음변환과 회전 합성

[출제의도] 일차변환의 합성 이해하기 $\mathrm{O}$를 원점이라 하고 $\mathrm{\angle} AOB = \theta$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{OB}} = 2 \sqrt{5}$, $\displaystyle \cos \theta = - \frac{1}{\sqrt{5}}$, $\displaystyle \sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ 닮음변환 $f$를 나타내는 행렬 $\displaystyle M = {\begin{pmatrix} \sqrt{5} & 0 \\ 0 & \sqrt{5} \end{pmatrix}}$ 회전변환 $g$를 나타내는 행렬 $\displaystyle \begin{aligned} N & = {\begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} - \frac{1}{\sqrt{5}} & - \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{2}{\sqrt{5}} & - \frac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}} \end{aligned}$ 따라서 합성변환 $h = f \circ g$를 나타내는 행렬 $\displaystyle MN = {\begin{pmatrix} - 1 & - 2 \\ 2 & - 1 \end{pmatrix}}$ 점 $\mathrm{B} ( - 2 , 4 )$는 일차변환 $h$에 의하여 점 $\mathrm{P} \left( \mathit{a} , b \right)$로 옮겨지므로$\displaystyle {\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}} = MN {\begin{pmatrix} - 2 \\ 4 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} - 1 & - 2 \\ 2 & - 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} - 2 \\ 4 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} - 6 \\ - 8 \end{pmatrix}}$ 따라서 $ab = 48$