닮음 행렬 보기

ㄱ. $A = P ^{- 1} B P$ 이므로 $B = O$ 이면 $A = P ^{- 1} O P = O$ : 참 ㄴ. $B ^{3} = ( P A P ^{- 1} ) ^{3} = P A ^{3} P ^{- 1}$ 이므로 $A ^{3} = E$ 이면 $B ^{3} = P A ^{3} P ^{- 1} = P E P ^{- 1} = E$ $\rightarrow$ $B ^{100} = ( B ^{3} ) ^{33} B = ( E ) ^{33} B = B$ : 참 ㄷ. $\displaystyle A B = A P A P ^{- 1} = \begin{pmatrix} {a ^{2} + ab - b ^{2}} & {ab + b ^{2}} \\ {a ^{2} - ab} & {ab} \end{pmatrix} = E$ $\leftrightarrow$ $\begin{cases} {a ^{2} + ab - b ^{2} = ab = 1 - - - - - \text{①}} \\ \\ {ab + b ^{2} = a ^{2} - ab = 0 - - - - - \text{ ②}} \end{cases}$ ① $\rightarrow$ $a ^{2} - b ^{2} = 0$ -----$\text{ ①}'$ ② $\rightarrow$ $a ^{2} - b ^{2} = 2 ab$ -----$\text{ ②}'$ $\text{ ①}' , \text{ ②}'$에서$ab = 0$(모순) [$\because$ ①에서 $ab = 1$] $\therefore$ $AB = E$를 만족하는 행렬 $A$는 존재하지 않는다. : 거짓