닮음 행렬 보기

ㄱ. $B = O$이면 $A = O$이다. (참) $\displaystyle B = \begin{pmatrix} {1} & {0} \\ {1} & {1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {a} & {b} \\ {a} & {0} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {1} & {0} \\ {- 1} & {1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {a - b} & {b} \\ {2 a - b} & {b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {0} & {0} \\ {0} & {0} \end{pmatrix}$이면 $a = 0 , b = 0$이므로 $A = O$이다. ㄴ. $A ^{3} = E$이면 $B ^{100} = B$이다. (참) $B = PA P ^{-1}$에서 $B ^{100} = PA ^{100} P ^{-1} = P ( A ^{3} ) ^{33} AP ^{-1} = PAP ^{-1} = B$ ㄷ. $AB = E$를 만족하는 행렬$A$가 존재한다. (거짓) $\displaystyle \begin{aligned} AB = A ( PAP ^{-1} ) & = \begin{pmatrix} {a} & {b} \\ {a} & {0} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {a - b} & {b} \\ {2 a - b} & {b} \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} {a ^{2} + a b - b ^{2}} & {a b + b ^{2}} \\ {a ^{2} - a b} & {a b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {1} & {0} \\ {0} & {1} \end{pmatrix} \end{aligned}$ $a ^{2} + a b - b ^{2} = 1 , b ( a + b ) = 0 , a ( a - b ) = 0 , a b = 1$이다. 그러므로$a b = 1$에서 $a \ne 0 , b \ne 0$이므로 $b ( a + b ) = 0 , a ( a - b ) = 0$에서 $a + b = 0 , a - b = 0$이 되려면 $a = 0 , b = 0$이므로 모순이다. 그러므로 $AB = E$를 만족하는 행렬$A$가 존재하지 않는다.