공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

다항식 최대공약수

문제

최고차항의 계수가 1인 두 이차다항식 $A , B$ 의 최대공약수가 $x - 3$ , 최소공배수가 $( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 )$ 이다. $A + B = ax ^{2} + bx + c$ 를 만족시키는 세 상수 $a , b , c$ 에 대하여 $a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}$ 의 값을 구하시오. [3점]

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166

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해설

[출제 의도] 최대공약수와 최소공배수의 관계를 이용하여 문제를 해결할 수 있다. 두 이차 다항식 $A$ , $B$ 의 최대공약수 $G =$ $x - 3$ 이고 최소공배수 $L = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 )$ 이다. $A = aG , B = bG$ , $L = abG ^{}$ (단, $a , b$ 는 서로소)이므로, 두 다항식 $A , B$ 는 $A = ( x - 1 ) ( x - 3 ) , B = ( x - 2 ) ( x - 3 )$ 또는 $A = ( x - 2 ) ( x - 3 ) , B = ( x - 1 ) ( x - 3 )$ 이다. ∴ $A + B = 2 x ^{2} - 9 x + 9$ $a = 2 , b = - 9 , c = 9 \therefore a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} = 166$

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