다항함수 극한 조건

$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} \frac{x ^{2}}{f \left( x \right)} = 2$에서 $f \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $\displaystyle \frac{1}{2}$인 이차식이다. 또한 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {} \frac{f \left( x - 1 \right)}{x - 3} = 4$에서 $x \rightarrow 3$일 때 (분모)$\rightarrow 0$이고 극한값이 존재하므로 (분자)$\rightarrow 0$이다. 즉 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {} f \left( x - 1 \right) = 0$이므로 $f \left( 2 \right) = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\therefore$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {} \frac{f \left( x - 1 \right)}{x - 3}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3} {} \frac{f \left( x - 1 \right) - f \left( 2 \right)}{\left( x - 1 \right) - 2}$$= f' \left( 2 \right) = 4$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{2} x ^{2} + ax + b$ ($a$, $b$는 상수)로 놓으면 $f' \left( x \right) = x + a$ ㉠, ㉡에서 $2 + 2 a + b = 0$, $4 = 2 + a$ 따라서 $a = 2$, $b = - 6$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{2} x ^{2} + 2 x - 6$ $\therefore$ $f \left( 4 \right) = 10$