다항함수 극한 조건

[출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기 (가)에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\frac{f \left( x \right)}{x ^{2}} = \mathit{-} 1}$이므로 $f \left( x \right)$는 이차항의 계수가 $- 1$인 이차함수이다. $f \left( x \right) = \mathit{-} x ^{2} + ax + b$($a$, $b$는 상수)라 하면 (나)에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{f \left( x \right) - 3}{x ^{2}}} = \mathit{-} 1$이고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {x ^{2}} = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\left\{ f \left( x \right) - 3 \right\}} = 0$, $b = 3$ 그러므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{f \left( x \right) - 3}{x ^{2}}} = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{- x ^{2} + ax}{x ^{2}}} = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\left( - 1 + \frac{a}{x} \right)} = \mathit{-} 1$ 에서 $a = 0$이다. 따라서 $f \left( x \right) = \mathit{-} x ^{2} + 3$이므로 $f \left( 1 \right) = 2$