미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

다항함수 극한 결정

문제

다항함수 f(x)f \left( x \right)가 lim⁡x→∞f(x)−x35x2=2\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\frac{f \left( x \right) - x ^{3}}{5 x ^{2}}} = 2, lim⁡x→−1f(x)x+1=−8\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {\frac{f \left( x \right)}{x + 1}} = \mathit{-} 8 을 만족시킬 때, f(2)f \left( 2 \right)의 값을 구하시오. [4점]

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66

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해설

lim⁡x→∞f(x)−x35x2=2\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\frac{f \left( x \right) - x ^{3}}{5 x ^{2}}} = 2이므로 f(x)=x3+10x2+ax+bf \left( x \right) = x ^{3} + 10 x ^{2} + ax + b lim⁡x→−1f(x)x+1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {\frac{f \left( x \right)}{x + 1}}의 값이 존재하고 lim⁡x→−1(x+1)=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {\left( x + 1 \right)} = 0이므로 lim⁡x→−1f(x)=\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {f \left( x \right)} =lim⁡x→−1(x3+10x2+ax+b)=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {\left( x ^{3} + 10 x ^{2} + ax + b \right) = 0} ∴\therefore b=a−9b = a - 9 lim⁡x→−1x3+10x2+ax+a−9x+1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {\frac{x ^{3} + 10 x ^{2} + ax + a - 9}{x + 1}} =lim⁡x→−1(x2+9x+a−9)=−8\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {\left( x ^{2} + 9 x + a - 9 \right) = \mathit{-} 8} ∴\therefore a=9a = 9, b=0b = 0 따라서 f(x)=x3+10x2+9xf \left( x \right) = x ^{3} + 10 x ^{2} + 9 x이고 f(2)=66f \left( 2 \right) = 66

태그

#다항함수 결정#극한

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